手書きのメッセージや文字の事です。筆記具は問いません。マウスやタブレットでも自らの手で書いたものは筆跡です。書体や市販の文字は当然筆跡ではありません。
いいえ、全て手書きの年賀状を推奨している訳ではありません。たった一文字でも（自分の）筆跡があるものを求めていますので、残り全てが写真でも画像でも構いません。デジタルで作って、手で文字を入れたもの。プリントアウトしたものに手でメッセージを入れたもの、或いは手で書いたものをデジタル化したもの。方法、手法は問いません。
絵は筆跡とは言えないので、採点時に不利になります。
無くても構いません。干支は採点の対象になっていません。